5. Решите систему уравнений { 1 + 1 x y = 1 2', 8x - y = 3.

Решим систему уравнений:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$$

$$8x - y = 3$$

Выразим y из второго уравнения: $$y = 8x - 3$$.

Подставим это значение в первое уравнение:

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{8x - 3} = \frac{1}{2}$$

Приведем к общему знаменателю: $$2(8x - 3) + 2x = x(8x - 3)$$.

$$16x - 6 + 2x = 8x^2 - 3x$$

$$18x - 6 = 8x^2 - 3x$$

$$8x^2 - 21x + 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно x. $$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 6 = 441 - 192 = 249$$

$$x_1 = \frac{21 + \sqrt{249}}{16}$$

$$x_2 = \frac{21 - \sqrt{249}}{16}$$

Теперь найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 8x_1 - 3 = 8 \cdot \frac{21 + \sqrt{249}}{16} - 3 = \frac{21 + \sqrt{249}}{2} - 3 = \frac{21 + \sqrt{249} - 6}{2} = \frac{15 + \sqrt{249}}{2}$$

$$y_2 = 8x_2 - 3 = 8 \cdot \frac{21 - \sqrt{249}}{16} - 3 = \frac{21 - \sqrt{249}}{2} - 3 = \frac{21 - \sqrt{249} - 6}{2} = \frac{15 - \sqrt{249}}{2}$$

Ответ: $$\left( \frac{21 + \sqrt{249}}{16}, \frac{15 + \sqrt{249}}{2} \right), \left( \frac{21 - \sqrt{249}}{16}, \frac{15 - \sqrt{249}}{2} \right)$$