13. Решите уравнение 2 log2x + 5 log6x + 2 = 0.

13. Решите уравнение 2 log₆²x + 5 log₆x + 2 = 0.

Пусть t = log₆x, тогда уравнение примет вид:

2t² + 5t + 2 = 0

Решим это квадратное уравнение:

D = b² - 4ac = 5² - 4 * 2 * 2 = 25 - 16 = 9

t₁ = (-b + √D) / (2a) = (-5 + √9) / (2 * 2) = (-5 + 3) / 4 = -2 / 4 = -0.5

t₂ = (-b - √D) / (2a) = (-5 - √9) / (2 * 2) = (-5 - 3) / 4 = -8 / 4 = -2

Тогда:

log₆x = -0.5 или log₆x = -2

x₁ = 6⁻⁰․⁵ = 6^-1/2 = 1/√6 = √6/6

x₂ = 6⁻² = 1/6² = 1/36

Проверим, что x > 0:

√6/6 > 0 и 1/36 > 0, следовательно, оба корня являются решениями.

Ответ: √6/6, 1/36