Решите уравнение: 2 sin² x + 7 cos x = 5.

Пошаговое решение:

Шаг 1: Используем тождество sin² x = 1 - cos² x: \[2(1 - \cos^2 x) + 7 \cos x = 5\] Шаг 2: Преобразуем уравнение: \[2 - 2\cos^2 x + 7 \cos x - 5 = 0\] \[-2\cos^2 x + 7 \cos x - 3 = 0\] \[2\cos^2 x - 7 \cos x + 3 = 0\] Шаг 3: Введем замену t = cos x: \[2t^2 - 7t + 3 = 0\] Шаг 4: Решим квадратное уравнение: \[D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25\] \[t_1 = \frac{7 + 5}{4} = 3, \quad t_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}\] Шаг 5: Разложим на два случая:

• Случай 1: \[\cos x = 3\] (не имеет решений)
• Случай 2: \[\cos x = \frac{1}{2}\]

Шаг 6: Решим второй случай: \[\cos x = \frac{1}{2}\] \[x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: x = \(\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k\), где k ∈ \(\mathbb{Z}\)