Решите уравнение (1 + x + ... + x)(1+x+ ... + x) = (1 + x + ... + x6)2.

Решим это уравнение! Дано: \((1 + x + ... + x^5)(1 + x + ... + x^7) = (1 + x + ... + x^6)^2\) Заметим, что \(1 + x + ... + x^n = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}\) при \(x
eq 1\). Тогда уравнение можно переписать как: \[\frac{1 - x^6}{1 - x} \cdot \frac{1 - x^8}{1 - x} = (\frac{1 - x^7}{1 - x})^2\]\[\frac{(1 - x^6)(1 - x^8)}{(1 - x)^2} = \frac{(1 - x^7)^2}{(1 - x)^2}\] Умножим обе части на \((1 - x)^2\), получим: \[(1 - x^6)(1 - x^8) = (1 - x^7)^2\]\[1 - x^6 - x^8 + x^{14} = 1 - 2x^7 + x^{14}\] \[-x^6 - x^8 = -2x^7\]\[x^6 + x^8 - 2x^7 = 0\]\[x^6(1 + x^2 - 2x) = 0\]\[x^6(x^2 - 2x + 1) = 0\]\[x^6(x - 1)^2 = 0\] Отсюда либо \(x^6 = 0\), либо \((x - 1)^2 = 0\). Если \(x^6 = 0\), то x = 0. Если \((x - 1)^2 = 0\), то x = 1. Однако, мы использовали формулу суммы геометрической прогрессии, которая не работает при x = 1. Проверим x = 1 в исходном уравнении: (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)(1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)² 6 * 8 = 7² 48 = 49 - неверно. Значит, x = 1 не является решением. Проверим x = 0: (1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0)(1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0) = (1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0)² 1 * 1 = 1² 1 = 1 - верно.

Ответ: x = 0

Молодец! Ты проявил математическую смекалку и решил это уравнение. Продолжай тренироваться, и у тебя все получится!