Решите уравнение: 4/(x² - 10x + 25) - 10/(x² - 25) = 1/(x + 5)

Решение:

Сначала разложим знаменатели на множители:

\( x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2 \)

\( x^2 - 25 = (x-5)(x+5) \)

Уравнение примет вид:

\[ \frac{4}{(x-5)^2} - \frac{10}{(x-5)(x+5)} = \frac{1}{x+5} \]

ОДЗ: \( x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \).

Приведём все дроби к общему знаменателю \( (x-5)^2(x+5) \):

\[ \frac{4(x+5)}{(x-5)^2(x+5)} - \frac{10(x-5)}{(x-5)^2(x+5)} = \frac{1(x-5)^2}{(x-5)^2(x+5)} \]

Теперь приравняем числители:

\[ 4(x+5) - 10(x-5) = (x-5)^2 \]

\[ 4x + 20 - 10x + 50 = x^2 - 10x + 25 \]

\[ -6x + 70 = x^2 - 10x + 25 \]

Перенесём всё в правую часть:

\[ x^2 - 10x + 6x + 25 - 70 = 0 \]

\[ x^2 - 4x - 45 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 14}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 14}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Проверим ОДЗ: \( x \neq 5 \) и \( x \neq -5 \).

Корень \( x_2 = -5 \) не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль.

Ответ: \( x = 9 \).