Решите уравнение: x⁴-15x²-16 = 0;

Решение:

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда \( y^2 = x^4 \).

Уравнение примет вид:

\[ y^2 - 15y - 16 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 \]

Найдем корни для \( y \):

\[ y_1 = \frac{-(-15) + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]

\[ y_2 = \frac{-(-15) - \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( x^2 = y \):

1. \( x^2 = 16 \) → \( x = \pm\sqrt{16} \) → \( x = \pm 4 \)

2. \( x^2 = -1 \) → действительных корней нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: \( x = 4, x = -4 \).