Контрольные задания > 1) Решите уравнение 2sin²x + √3sinx – 3 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-6; -2].
Вопрос:

1) Решите уравнение 2sin²x + √3sinx – 3 = 0. 2) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-6; -2].

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Решаем квадратное уравнение относительно sin x, находим корни и отбираем те, что принадлежат заданному отрезку.
  • 1) Решим уравнение 2sin²x + √3sinx – 3 = 0.
  • Пусть t = sinx, тогда уравнение примет вид:
  • 2t² + √3t – 3 = 0
  • Найдем дискриминант:
  • D = (√3)² – 4 * 2 * (-3) = 3 + 24 = 27
  • Тогда корни:
  • t₁ = (-√3 + √27) / 4 = (-√3 + 3√3) / 4 = 2√3 / 4 = √3 / 2
  • t₂ = (-√3 - √27) / 4 = (-√3 - 3√3) / 4 = -4√3 / 4 = -√3
  • Вернемся к замене:
  • sinx = √3 / 2
  • x₁ = π/3 + 2πk, где k ∈ Z
  • x₂ = 2π/3 + 2πn, где n ∈ Z
  • sinx = -√3
  • Это уравнение не имеет решений, так как |sinx| ≤ 1
  • 2) Найдем корни, принадлежащие отрезку [-6; -2]:
  • x₁ = π/3 + 2πk
  • При k = -1: x₁ = π/3 - 2π = π/3 - 6π/3 = -5π/3 ≈ -5.24 ∈ [-6; -2]
  • При k = -2: x₁ = π/3 - 4π = -11π/3 ≈ -11.52 ∉ [-6; -2]
  • x₂ = 2π/3 + 2πn
  • При n = -1: x₂ = 2π/3 - 2π = 2π/3 - 6π/3 = -4π/3 ≈ -4.19 ∈ [-6; -2]
  • При n = -2: x₂ = 2π/3 - 4π = -10π/3 ≈ -10.47 ∉ [-6; -2]

Ответ: x₁ = -5π/3, x₂ = -4π/3

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие