Решите уравнение: \( \sqrt{x+5} = x-1 \)

Решение:

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x+5})^2 = (x-1)^2 \) \(\Rightarrow\) \( x+5 = x^2 - 2x + 1 \).
2. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 2x - x + 1 - 5 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x^2 - 3x - 4 = 0 \).
3. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \).
4. Найдем корни: \( x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3+5}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3-5}{2} = -1 \).
5. Проверим найденные корни в исходном уравнении:
   • Для \( x=4 \): \( \sqrt{4+5} = \sqrt{9} = 3 \) и \( 4-1 = 3 \). \( 3=3 \), значит \( x=4 \) — корень.
   • Для \( x=-1 \): \( \sqrt{-1+5} = \sqrt{4} = 2 \) и \( -1-1 = -2 \). \( 2 \neq -2 \), значит \( x=-1 \) — посторонний корень.

Ответ: \( x=4 \).