Решите уравнение \( x(36x^2 - 12x + 1) = 7(6x - 1) \)

Решение:

Заметим, что \( 36x^2 - 12x + 1 \) является полным квадратом:

\[ 36x^2 - 12x + 1 = (6x)^2 - 2 \cdot (6x) \cdot 1 + 1^2 = (6x - 1)^2 \]

Подставим это в уравнение:

\[ x(6x - 1)^2 = 7(6x - 1) \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x(6x - 1)^2 - 7(6x - 1) = 0 \]

Вынесем общий множитель \( (6x - 1) \):

\[ (6x - 1) [x(6x - 1) - 7] = 0 \]

Раскроем скобки во втором множителе:

\[ (6x - 1) [6x^2 - x - 7] = 0 \]

Теперь у нас есть два случая:

Случай 1: \( 6x - 1 = 0 \)

\( 6x = 1 \)

\[ x_1 = \frac{1}{6} \]

Случай 2: \( 6x^2 - x - 7 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(6)(-7) = 1 + 168 = 169 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \)

Найдем корни:

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} \]

\[ x_3 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-12}{12} = -1 \]

Итак, у нас три корня: \( \frac{1}{6} \), \( \frac{7}{6} \) и \( -1 \).

Ответ: \( x = -1, x = \frac{1}{6}, x = \frac{7}{6} \)