С1. Через середину диагонали KM прямоугольника KLMN проведена прямая, перпендикулярная этой диагонали и пересекающая стороны KL и MN в точках A и B соответственно. Известно, что AB = BM = 6 см. Найдите большую сторону прямоугольника.

Обозначим \(KL=a\), \(LM=b\), где K(0,0), L(a,0), M(a,b), N(0,b). Середина диагонали KM имеет координаты \((a/2,b/2)\). Прямая через неё, перпендикулярная KM, пересекает KL и MN в A и B.

Из уравнения перпендикулярной прямой получаются расстояния \(BM=\frac{a^2+b^2}{2a}\), а \(AB=\sqrt{b^2+\frac{b^4}{a^2}}\). По условию оба равны 6 см.

Положим \(t=b/a\). Тогда равенство AB=BM даёт \(t\sqrt{1+t^2}=(1+t^2)/2\), откуда \(t=1/\sqrt3\). Из \(BM=a(1+t^2)/2=6\) получаем \(a=9\) см, а \(b=3\sqrt3\) см. Следовательно, большая сторона равна 9 см.

Ответ: 9 см.