Самостоятельная работа, вариант 2, часть B. 2. Решить уравнения: а) (1/2)^(2x) − (1/2)^(x−2) − 32 = 0; б) 35^(4x+3) = 5^(3x+6)·7^(5x).

а) Положим t = (1/2)^x, где t > 0. Тогда (1/2)^2x = t², а (1/2)^x−2 = 4t. Получаем t² − 4t − 32 = 0, то есть (t − 8)(t + 4) = 0. С учётом t > 0 имеем t = 8 = 2³. Поэтому 2^−x = 2³ и x = −3.

б) Представим 35 как 5·7. Тогда 5^4x+3·7^4x+3 = 5^3x+6·7^5x. Приравнивая показатели степеней с одинаковыми основаниями, получаем 4x + 3 = 3x + 6 и 4x + 3 = 5x. Оба уравнения дают x = 3.

Ответ: а) x = −3; б) x = 3.