13 Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника.

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Доказательство:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и биссектрисой BD.

Докажем, что BD является медианой и высотой.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них BD – общая сторона, AB = BC по условию, ∠ABD = ∠CBD, так как BD – биссектриса.

Следовательно, ΔABD = ΔCBD по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства треугольников следует равенство сторон AD и CD (AD = CD), значит BD – медиана.

Также из равенства треугольников следует равенство углов BDA и BDC (∠BDA = ∠BDC).

Так как BD является медианой и высотой.

Ответ: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Доказательство теоремы приведено выше.