15 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак равенства треугольников.

Теорема (Третий признак равенства треугольников):

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁.

Докажем, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Накладываем ΔABC на ΔA₁B₁C₁ так, чтобы сторона AB совместилась со стороной A₁B₁.

Возможны два случая: либо вершина C и C₁ лежат по одну сторону от прямой A₁B₁, либо по разные.

Рассмотрим случай, когда вершина C и C₁ лежат по одну сторону от прямой A₁B₁.

Проведем отрезок CC₁.

Треугольники ACC₁ и BCC₁ – равнобедренные, так как AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁.

Следовательно, ∠ACC₁ = ∠A₁CC₁ и ∠BCC₁ = ∠B₁CC₁.

Тогда ∠ACB = ∠ACC₁ + ∠BCC₁ = ∠A₁CC₁ + ∠B₁CC₁ = ∠A₁C₁B₁.

Итак, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠ACB = ∠A₁C₁B₁.

Значит, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по первому признаку равенства треугольников.

Аналогично рассматривается случай, когда вершина C и C₁ лежат по разные стороны от прямой A₁B₁.

Ответ: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство теоремы приведено выше.