10. Сколько существует целых положительных чисел, меньших 100, которые: а) делятся и на 2, и на 3; б) делятся на 2, но не на 3; в) делятся на 3, но не на 2; г) делятся на 3 или на 2; д) не делятся ни на 2, ни на 3?

а) делятся и на 2, и на 3;

Число должно делиться на наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2 и 3, то есть на 6.

Числа, делящиеся на 6, меньше 100: 6, 12, 18, ..., 96. Это арифметическая прогрессия с первым членом 6, разностью 6 и последним членом 96.

Количество членов в прогрессии: n = (96 - 6) / 6 + 1 = 90 / 6 + 1 = 15 + 1 = 16

б) делятся на 2, но не на 3;

Числа, делящиеся на 2, меньше 100: 2, 4, 6, 8, ..., 98. Количество таких чисел: 98 / 2 = 49.

Из них нужно исключить числа, делящиеся на 6 (то есть и на 2, и на 3), которых 16 (см. пункт а)).

Тогда чисел, делящихся на 2, но не на 3: 49 - 16 = 33

в) делятся на 3, но не на 2;

Числа, делящиеся на 3, меньше 100: 3, 6, 9, ..., 99. Количество таких чисел: 99 / 3 = 33.

Из них нужно исключить числа, делящиеся на 6 (то есть и на 2, и на 3), которых 16 (см. пункт а)).

Тогда чисел, делящихся на 3, но не на 2: 33 - 16 = 17

г) делятся на 3 или на 2;

Используем формулу включений-исключений: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|, где A - числа, делящиеся на 2, B - числа, делящиеся на 3.

|A| = 49 (см. пункт б)), |B| = 33 (см. пункт в)), |A ∩ B| = 16 (см. пункт а)).

|A ∪ B| = 49 + 33 - 16 = 66

д) не делятся ни на 2, ни на 3?

Всего чисел меньше 100: 99. Чисел, делящихся на 2 или на 3: 66 (см. пункт г)).

Тогда чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3: 99 - 66 = 33

Ответ: а) 16; б) 33; в) 17; г) 66; д) 33