574. Сократите дробь: a) \(\frac{8a^3-27}{9-12a + 4a^2}\);

a) Сократим дробь \(\frac{8a^3-27}{9-12a + 4a^2}\).

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \(8a^3 - 27 = (2a)^3 - 3^3\). Используем формулу разности кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\). Тогда: \((2a)^3 - 3^3 = (2a - 3)((2a)^2 + 2a \cdot 3 + 3^2) = (2a - 3)(4a^2 + 6a + 9)\).

Знаменатель: \(9 - 12a + 4a^2 = 4a^2 - 12a + 9 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2\). Используем формулу квадрата разности: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Тогда: \((2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3 + 3^2 = (2a - 3)^2\).

Итак, дробь имеет вид: \(\frac{(2a - 3)(4a^2 + 6a + 9)}{(2a - 3)^2} = \frac{4a^2 + 6a + 9}{2a - 3}\), при условии, что \(2a - 3
eq 0\), то есть \(a
eq \frac{3}{2}\).

Ответ: \(\frac{4a^2 + 6a + 9}{2a - 3}\)