Solve the equation: 6 cos²(x/y) + cos(x/y) - 1 = 0

Решение:

1. Пусть $$z = \cos(\frac{x}{y})$$. Уравнение примет вид: $$6z^2 + z - 1 = 0$$.
2. Решим квадратное уравнение относительно $$z$$ с помощью дискриминанта ($$D = b^2 - 4ac$$): $$D = 1^2 - 4(6)(-1) = 1 + 24 = 25$$.
3. Найдем корни: $$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$.
4. $$z_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 + 5}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$.
5. $$z_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 - 5}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$$.
6. Вернемся к замене $$z = \cos(\frac{x}{y})$$.
7. Случай 1: $$\cos(\frac{x}{y}) = \frac{1}{3}$$.
8. Общее решение для этого случая: $$\frac{x}{y} = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k$$, где $$k$$ - любое целое число.
9. Случай 2: $$\cos(\frac{x}{y}) = -\frac{1}{2}$$.
10. Известно, что $$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$$.
11. Общее решение для этого случая: $$\frac{x}{y} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$, где $$n$$ - любое целое число.

Ответ: $$\frac{x}{y} = \pm \arccos(\frac{1}{3}) + 2\pi k$$ или $$\frac{x}{y} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$, где $$k, n ∈ ℤ$$