Solve the equation: \frac{4}{log_x-6} + \frac{5}{log_x+2} = 1

Решение:

1. Пусть $$y = \log_x$$. Уравнение примет вид: $$\frac{4}{y-6} + \frac{5}{y+2} = 1$$.
2. Приведем дроби к общему знаменателю $$(y-6)(y+2)$$: $$\frac{4(y+2) + 5(y-6)}{(y-6)(y+2)} = 1$$.
3. Раскроем скобки в числителе: $$\frac{4y + 8 + 5y - 30}{(y-6)(y+2)} = 1$$.
4. Упростим числитель: $$\frac{9y - 22}{(y-6)(y+2)} = 1$$.
5. Раскроем скобки в знаменателе: $$\frac{9y - 22}{y^2 + 2y - 6y - 12} = 1$$.
6. $$\frac{9y - 22}{y^2 - 4y - 12} = 1$$.
7. Умножим обе части на знаменатель (при условии $$y
   eq 6$$ и $$y
   eq -2$$): $$9y - 22 = y^2 - 4y - 12$$.
8. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$y^2 - 4y - 9y - 12 + 22 = 0$$.
9. $$y^2 - 13y + 10 = 0$$.
10. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($$D = b^2 - 4ac$$): $$D = (-13)^2 - 4(1)(10) = 169 - 40 = 129$$.
11. Найдем корни: $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$.
12. $$y_1 = \frac{13 + \sqrt{129}}{2}$$.
13. $$y_2 = \frac{13 - \sqrt{129}}{2}$$.
14. Вернемся к замене $$y = \log_x$$.
15. Для $$y_1 = \frac{13 + \sqrt{129}}{2}$$: $$\log_x = \frac{13 + \sqrt{129}}{2}$$.
16. Для $$y_2 = \frac{13 - \sqrt{129}}{2}$$: $$\log_x = \frac{13 - \sqrt{129}}{2}$$.
17. Проверим условие $$y
    eq 6$$ и $$y
    eq -2$$.
18. $$\sqrt{129}$$ находится между 11 и 12 (приблизительно 11.36).
19. $$y_1 \approx \frac{13 + 11.36}{2} = \frac{24.36}{2} = 12.18
    eq 6, -2$$.
20. $$y_2 \approx \frac{13 - 11.36}{2} = \frac{1.64}{2} = 0.82
    eq 6, -2$$.
21. Таким образом, у нас есть два возможных значения для $$y$$.
22. Для $$x$$ (основание логарифма) должно выполняться условие $$x > 0$$ и $$x
    eq 1$$.
23. В данном случае, $$y$$ является значением логарифма, а не основанием.
24. Если мы интерпретируем $$log$$ как натуральный логарифм (ln) или десятичный логарифм (log10), то $$x$$ будет равно $$e^y$$ или $$10^y$$ соответственно.
25. Если это десятичный логарифм (lg), то $$x$$ - это основание логарифма. В таком случае, $$x^y = ext{число}$$.
26. Исходя из контекста, скорее всего, $$log$$ означает десятичный логарифм, и $$x$$ является переменной в аргументе логарифма: $$\log(x)$$.
27. Если $$y = \log(x)$$, тогда $$x = 10^y$$.
28. $$x_1 = 10^{\frac{13 + \sqrt{129}}{2}}$$.
29. $$x_2 = 10^{\frac{13 - \sqrt{129}}{2}}$$.
30. Оба значения $$x$$ положительны и не равны 1.

Ответ: $$10^{\frac{13 + \sqrt{129}}{2}}$$, $$10^{\frac{13 - \sqrt{129}}{2}}$$