Solve the equation: \frac{8}{5^x-3} - \frac{6}{5^x+1} = 3

Решение:

1. Пусть $$y = 5^x$$. Уравнение примет вид: $$\frac{8}{y-3} - \frac{6}{y+1} = 3$$.
2. Приведем дроби к общему знаменателю $$(y-3)(y+1)$$: $$\frac{8(y+1) - 6(y-3)}{(y-3)(y+1)} = 3$$.
3. Раскроем скобки в числителе: $$\frac{8y + 8 - 6y + 18}{(y-3)(y+1)} = 3$$.
4. Упростим числитель: $$\frac{2y + 26}{(y-3)(y+1)} = 3$$.
5. Раскроем скобки в знаменателе: $$\frac{2y + 26}{y^2 + y - 3y - 3} = 3$$.
6. $$\frac{2y + 26}{y^2 - 2y - 3} = 3$$.
7. Умножим обе части на знаменатель (при условии $$y
   eq 3$$ и $$y
   eq -1$$): $$2y + 26 = 3(y^2 - 2y - 3)$$.
8. $$2y + 26 = 3y^2 - 6y - 9$$.
9. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$3y^2 - 6y - 2y - 9 - 26 = 0$$.
10. $$3y^2 - 8y - 35 = 0$$.
11. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($$D = b^2 - 4ac$$): $$D = (-8)^2 - 4(3)(-35) = 64 + 420 = 484$$.
12. Найдем корни: $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$.
13. $$y_1 = \frac{8 + \sqrt{484}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 22}{6} = \frac{30}{6} = 5$$.
14. $$y_2 = \frac{8 - \sqrt{484}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 22}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$$.
15. Вернемся к замене $$y = 5^x$$.
16. Для $$y_1 = 5$$: $$5^x = 5$$. Следовательно, $$x = 1$$.
17. Для $$y_2 = -\frac{7}{3}$$: $$5^x = -\frac{7}{3}$$. Это уравнение не имеет решений, так как $$5^x$$ всегда положительно.
18. Проверим условие $$y
    eq 3$$ и $$y
    eq -1$$. $$y=5$$ удовлетворяет условию.

Ответ: 1