Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
\( \sqrt{12\cos^2 \frac{5\pi}{12} - \sqrt{3}} \)
Ответ:
Решение:
Для вычисления этого выражения необходимо знать значение \( \cos^2 \frac{5\pi}{12} \).
Сначала найдем \( \cos \frac{5\pi}{12} \). Можно использовать формулу косинуса суммы:
\( \frac{5\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} \)\( \cos(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{6} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{6} \sin \frac{\pi}{4} \)\( = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \)Теперь возведем в квадрат:
\( \cos^2 \frac{5\pi}{12} = \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)^2 = \frac{(\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{16} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 2 \cdot 2\sqrt{3}}{16} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4} \)Теперь подставим это значение в исходное выражение:
\( \sqrt{12 \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3}} = \sqrt{3(2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3}} = \sqrt{6 - 3\sqrt{3} - \sqrt{3}} = \sqrt{6 - 4\sqrt{3}} \)Попробуем упростить \( \sqrt{6 - 4\sqrt{3}} \). Ищем \( a, b \) такие, что \( (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a+b - 2\sqrt{ab} = 6 - 4\sqrt{3} \).
Сравнивая, получаем:
\( a+b = 6 \)\( 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{3} \rightarrow \sqrt{ab} = 2\sqrt{3} = \sqrt{12} \rightarrow ab = 12 \)Подбираем числа: \( a=4, b=3 \) удовлетворяют условиям.
Значит, \( \sqrt{6 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{4} - \sqrt{3})^2} = |2 - \sqrt{3}| \). Так как \( 2 > \sqrt{3} \), то \( |2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3} \).
Ответ: \( 2 - \sqrt{3} \)
Похожие
