5. Сравните числа: a) \(\sqrt[4]{4}\) и \(\sqrt[3]{3}\); b) \(\sqrt[4]{26}\) и \(\sqrt{5}\); c) \(\sqrt{2}\sqrt[3]{6}\) и \(\sqrt[3]{5}\sqrt{2}\)

a) Сравним \(\sqrt[4]{4}\) и \(\sqrt[3]{3}\).

Возведём оба числа в степень 12 (НОК(4,3)):

• (\(\sqrt[4]{4}\))^{12} = (4^{1/4})^{12} = 4^3 = 64
• (\(\sqrt[3]{3}\))^{12} = (3^{1/3})^{12} = 3^4 = 81

Так как 81 > 64, то \(\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4}\).

б) Сравним \(\sqrt[4]{26}\) и \(\sqrt{5}\).

Возведём оба числа в степень 4:

• (\(\sqrt[4]{26}\))^4 = 26
• (\(\sqrt{5}\))^4 = 5^2 = 25

Так как 26 > 25, то \(\sqrt[4]{26} > \sqrt{5}\).

в) Сравним \(\sqrt{2}\sqrt[3]{6}\) и \(\sqrt[3]{5}\sqrt{2}\).

Разделим обе части на \(\sqrt{2}\). Сравним \(\sqrt[3]{6}\) и \(\sqrt[3]{5}\).

Так как 6 > 5, то \(\sqrt[3]{6} > \(\sqrt[3]{5}\), следовательно, \(\sqrt{2}\sqrt[3]{6} > \sqrt[3]{5}\sqrt{2}\).

Ответ: a) \(\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4}\); б) \(\sqrt[4]{26} > \sqrt{5}\); в) \(\sqrt{2}\sqrt[3]{6} > \sqrt[3]{5}\sqrt{2}\)