Сторона ромба равна 5, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до неё равно 2. Найдите площадь ромба.

Решение:

1. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам.
2. Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба — это высота одного из четырех равных прямоугольных треугольников, образованных диагоналями.
3. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \). Пусть \( h \) — высота, опущенная из \( O \) на сторону \( AB \). По условию \( h = 2 \).
4. Площадь ромба можно найти как сумму площадей четырех равных прямоугольных треугольников.
5. Площадь одного такого треугольника (например, \( \triangle AOB \)) равна \( S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h \), где \( AB \) — сторона ромба, \( h \) — высота из \( O \) на \( AB \).
6. \( AB = 5 \) (сторона ромба).
7. \( S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5 \).
8. Площадь ромба равна \( S_{ромба} = 4 \cdot S_{\triangle AOB} = 4 \cdot 5 = 20 \).
9. Альтернативный способ: Пусть \( d_1 \) и \( d_2 \) — диагонали ромба. Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \).
10. Пусть \( AO = \frac{d_1}{2} \) и \( BO = \frac{d_2}{2} \).
11. В прямоугольном \( \triangle AOB \) катеты равны \( \frac{d_1}{2} \) и \( \frac{d_2}{2} \), гипотенуза равна 5.
12. Высота \( h=2 \) к гипотенузе. Площадь \( \triangle AOB = \frac{1}{2} \cdot \frac{d_1}{2} \cdot \frac{d_2}{2} = \frac{d_1 d_2}{8} \).
13. Также площадь \( \triangle AOB = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5 \).
14. Значит, \( \frac{d_1 d_2}{8} = 5 \), откуда \( d_1 d_2 = 40 \).
15. Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20 \).

Ответ: 20.