В окружности с центром О АС и BD-диаметры. Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Центральный угол \( \angle AOD = 108^{\circ} \). Этот угол опирается на дугу AD.

2. Вписанный угол \( \angle ABD \) также опирается на дугу AD. Следовательно, \( \angle ABD = \frac{1}{2} \angle AOD = \frac{1}{2} \cdot 108^{\circ} = 54^{\circ} \).

3. AC и BD — диаметры. Треугольник ABD — прямоугольный, так как опирается на диаметр BD. Угол \( \angle BAD = 90^{\circ} \).

4. В треугольнике ABD: \( \angle ABD + \angle ADB + \angle BAD = 180^{\circ} \). \( 54^{\circ} + \angle ADB + 90^{\circ} = 180^{\circ} \). \( \angle ADB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ} \).

5. AC — диаметр, следовательно, угол \( \angle ABC = 90^{\circ} \).

6. Угол \( \angle ACB \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на дугу AB, равен \( \angle AOB \). Углы \( \angle AOD \) и \( \angle AOB \) — смежные. \( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).

7. Вписанный угол \( \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 72^{\circ} = 36^{\circ} \).

Ответ: 36.