В окружности с центром О АС и BD – диаметры. Центральный угол AOD равен 108°. Найдите вписанный угол АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Центральный угол \( \angle AOD = 108^{\circ} \).
2. Дуга \( AD \) равна центральному углу, который на неё опирается, поэтому дуга \( AD = 108^{\circ} \).
3. \( AC \) и \( BD \) — диаметры. Центральный угол \( \angle BOC \) равен \( \angle AOD \) как вертикальные углы, поэтому \( \angle BOC = 108^{\circ} \).
4. Дуга \( BC \) равна центральному углу \( \angle BOC \), поэтому дуга \( BC = 108^{\circ} \).
5. Вписанный угол \( \angle ACB \) опирается на дугу \( AB \).
6. Угол \( \angle AOB \) — развёрнутый, \( 180^{\circ} \) (так как \( AC \) — диаметр).
7. \( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \) (ошибка, \( \angle AOD \) и \( \angle AOB \) смежные, если \( D, O, B \) лежат на одной прямой).
8. \( AC \) и \( BD \) — диаметры. \( \angle AOD = 108^{\circ} \).
9. \( \angle AOB \) и \( \angle AOD \) — смежные углы, если \( B, O, D \) лежат на одной прямой. \( \angle BOD = 180^{\circ} \).
10. \( \angle AOB + \angle AOD = 180^{\circ} \) (смежные углы).
11. \( \angle AOB = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ} \).
12. Вписанный угол \( \angle ACB \) опирается на дугу \( AB \), величина которой равна центральному углу \( \angle AOB \).
13. Дуга \( AB = \angle AOB = 72^{\circ} \).
14. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.
15. \( \angle ACB = \frac{1}{2} \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 72^{\circ} = 36^{\circ} \).

Ответ: 36.