Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: В параллелограмме ABCD точка Е – середина стороны CD. Известно, что EA = EB. Докажите, что данный параллелограмм…Фото задания

Ответ:

Доказательство:

  1. Пусть \( ABCD \) — параллелограмм. \( E \) — середина \( CD \). \( EA = EB \).
  2. В параллелограмме противоположные стороны равны: \( AB = CD \) и \( AD = BC \).
  3. \( E \) — середина \( CD \), значит \( CE = ED = \frac{1}{2} CD \).
  4. Поскольку \( AB = CD \), то \( CE = ED = \frac{1}{2} AB \).
  5. Рассмотрим \( \triangle ADE \) и \( \triangle BCE \).
  6. \( AD = BC \) (противоположные стороны параллелограмма).
  7. \( ED = CE \) (по условию \( E \) — середина \( CD \)).
  8. \( \angle ADE = \angle BCE \) (противоположные углы параллелограмма).
  9. По признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС), \( \triangle ADE = \triangle BCE \).
  10. Из равенства треугольников следует, что \( EA = EB \). Это совпадает с условием задачи.
  11. Теперь используем условие \( EA = EB \) для доказательства, что параллелограмм — прямоугольник.
  12. Рассмотрим \( \triangle AEB \). Он равнобедренный, так как \( EA = EB \).
  13. Опустим из \( E \) высоту \( EH \) на сторону \( AB \). В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому \( AH = HB = \frac{1}{2} AB \).
  14. \( H \) — середина \( AB \).
  15. В параллелограмме \( ABCD \) точка \( E \) — середина \( CD \), а точка \( H \) — середина \( AB \).
  16. Соединим точки \( H \) и \( E \). Отрезок \( HE \) соединяет середины противоположных сторон \( AB \) и \( CD \).
  17. В параллелограмме отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, параллелен двум другим сторонам и равен им. Следовательно, \( HE ∥ AD \) и \( HE ∥ BC \), а \( HE = AD = BC \).
  18. Кроме того, \( HE \) перпендикулярен \( AB \) и \( CD \), потому что \( EH \) — высота \( \triangle AEB \) и \( \triangle DEC \) (так как \( \triangle ADE = \triangle BCE \), то \( \angle DEC = \angle AEC \), а \( \angle DEC + \angle AEC = 180^{\circ} \), значит \( \angle DEC = 90^{\circ} \)).
  19. Если \( HE ⊥ CD \), то \( HE \) является высотой параллелограмма \( ABCD \) для основания \( CD \).
  20. Высота параллелограмма равна \( HE \).
  21. Также \( AD = BC = HE \) (из равенства \( \triangle ADE = \triangle BCE \) или свойства параллелограмма).
  22. Но \( HE \) является высотой, значит \( HE ⊥ AB \).
  23. Если высота \( HE \) параллелограмма равна боковой стороне \( AD \) (или \( BC \)), то параллелограмм является прямоугольником.
  24. \( AD = HE \) и \( HE ⊥ AB \) → \( AD ⊥ AB \).
  25. Следовательно, \( \angle DAB = 90^{\circ} \).
  26. У параллелограмма, у которого один угол прямой, все углы прямые.
  27. Таким образом, \( ABCD \) — прямоугольник.

Доказано.