В параллелограмме ABCD точка Е середина стороны CD. Известно, что EA=EB. Докажите, что данный параллелограмм прямоугольник.

Доказательство:

1. Пусть ABCD — параллелограмм. E — середина стороны CD.

2. По условию EA = EB.

3. Рассмотрим треугольник AEB. Так как EA = EB, то треугольник AEB — равнобедренный.

4. Проведем высоту из вершины E к основанию AB. Пусть эта высота пересекает AB в точке F. Так как треугольник AEB равнобедренный, то EF является также и медианой, т.е. AF = FB.

5. В параллелограмме ABCD AB || CD и AD || BC.

6. Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны равны: AB = CD и AD = BC.

7. E — середина CD, значит, CE = ED = \( \frac{1}{2} CD \).

8. Поскольку AB = CD, то CE = ED = \( \frac{1}{2} AB \).

9. Рассмотрим треугольники ADE и BCE.

• AD = BC (противоположные стороны параллелограмма).
• ED = CE (E — середина CD).
• \( \angle ADE = \angle BCE \) (противоположные углы параллелограмма).

10. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ADE = \triangle BCE \). Следовательно, AE = BE.

11. Это условие (AE = BE) дано в задаче. Это означает, что треугольник AEB является равнобедренным.

12. В равнобедренном треугольнике AEB, проведенная из вершины E высота EF является также и медианой, то есть AF = FB. Это значит, что точка F является серединой стороны AB.

13. Рассмотрим треугольник CMD, где M — середина AB.

14. Если M — середина AB, то AM = MB = \( \frac{1}{2} AB \).

15. Так как E — середина CD, и CD = AB, то ED = CE = \( \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} AB \).

16. В параллелограмме ABCD, если середина стороны CD (точка E) и середина стороны AB (точка M) соединены отрезком ME, то этот отрезок параллелен сторонам AD и BC. Таким образом, ME || AD || BC.

17. Если AE = BE, то точка E равноудалена от A и B. Это означает, что E лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.

18. В параллелограмме ABCD, если середина стороны CD (E) равноудалена от вершин A и B, то диагонали параллелограмма равны, т.е. AC = BD. Это произойдет только в том случае, если параллелограмм является прямоугольником.

Альтернативное доказательство:

1. Проведем диагонали AC и BD. Пусть они пересекаются в точке O.

2. В параллелограмме диагонали делятся пополам, значит AO = OC и BO = OD.

3. E — середина CD, значит CE = ED.

4. В треугольнике ACD, AO = OC, EO || AD (по теореме Фалеса, так как E — середина CD и O — середина AC).

5. В треугольнике BCD, BO = OD, EO || BC (по теореме Фалеса, так как E — середина CD и O — середина BD).

6. Если EO || AD и AD || BC, то EO || AD || BC.

7. В равнобедренном треугольнике AEB (по условию AE = EB) высота, проведенная из E к AB (пусть это будет EM), делит AB пополам. То есть M — середина AB.

8. В параллелограмме ABCD, если середина одной стороны (E — середина CD) равноудалена от концов противоположной стороны (A и B), то параллелограмм является прямоугольником.

Доказательство от противного:

Предположим, что ABCD — не прямоугольник. Тогда углы A и B не равны 90 градусов.

В равнобедренном треугольнике AEB, опустим высоту EM на AB. EM также является медианой, значит AM = MB.

Так как ABCD — параллелограмм, AB = CD. E — середина CD, значит ED = EC = \( \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} AB \).

Рассмотрим треугольники ADE и BCE:

• AD = BC (свойства параллелограмма)
• ED = CE (по условию E — середина CD)
• \( \angle ADE = \angle BCD \) (противоположные углы параллелограмма)

По двум сторонам и углу между ними, \( \triangle ADE = \triangle BCE \), следовательно AE = BE. Это условие дано.

Рассмотрим треугольник CMD, где M — середина AB. Поскольку AB = CD, то AM = MB = ED = EC.

Если ABCD — не прямоугольник, то при проведении высоты из E к AB, точка M совпадет с точкой пересечения диагоналей O только в случае, если ABCD — прямоугольник. Если AE = BE, то E лежит на серединном перпендикуляре к AB.

В параллелограмме ABCD, если середина стороны CD равноудалена от вершин A и B, это означает, что расстояние от E до A равно расстоянию от E до B. Рассмотрев треугольники ADE и BCE, мы видим, что они равны. Это следует из того, что AD = BC, ED = CE, и \( \angle D = \angle C \).

Если AE = BE, то точка E находится на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Пусть O — точка пересечения диагоналей. Тогда O — середина AC и BD.

Если ABCD — параллелограмм, и E — середина CD, и AE = BE, то это возможно только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны, и расстояние от середины одной стороны до вершин противоположной стороны равно.

Финальное обоснование:

В параллелограмме ABCD, E — середина CD. Рассмотрим векторы. Пусть \( \vec{A} \) — начало координат. Тогда \( \vec{D} = \vec{a} \), \( \vec{B} = \vec{b} \). Тогда \( \vec{C} = \vec{a} + \vec{b} \).

\( \vec{E} = \vec{D} + \frac{1}{2} \vec{DC} = \vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{C} - \vec{D}) = \vec{a} + \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} - \vec{a}) = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} \).

\( \vec{EA} = \vec{A} - \vec{E} = -\vec{E} = -\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} \).

\( \vec{EB} = \vec{B} - \vec{E} = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) = \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a} \).

Условие \( AE = EB \) означает \( |\vec{EA}| = |\vec{EB}| \), то есть \( |-\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}| = |\frac{1}{2} \vec{b} - \vec{a}| \).

Возведем в квадрат обе части: \( |\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}|^2 = |\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}|^2 \).

\( (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) = (\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}) \).

\( \vec{a}^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{b}^2 = \vec{a}^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{b}^2 \).

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = - \vec{a} \cdot \vec{b} \).

\( 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \).

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \).

Это означает, что векторы \( \vec{a} = \vec{AD} \) и \( \vec{b} = \vec{AB} \) ортогональны, то есть \( \angle DAB = 90^{\circ} \).

Если один угол параллелограмма прямой, то все углы прямые, и параллелограмм является прямоугольником.

Что и требовалось доказать.