11. Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 18, а боковые рёбра равны 15. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Пусть сторона основания $$a = 18$$, а боковое ребро $$b = 15$$. Для начала найдем апофему (высоту боковой грани). Опустим высоту из вершины пирамиды на основание. Т.к. пирамида правильная, то высота попадает в центр основания. Центр равностороннего треугольника является точкой пересечения медиан, которые делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности (расстояние от вершины основания до центра основания) равен: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$ Апофема (l) равна: $$l = \sqrt{b^2 - (a/2)^2}$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой, половиной стороны основания и высотой боковой грани. По теореме Пифагора найдем апофему: $$\ell = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$$ Площадь боковой поверхности равна: $$S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot \ell = \frac{1}{2} (3 \cdot 18) \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 54 \cdot 12 = 27 \cdot 12 = 324$$ Ответ: 324.