4. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»?

Пусть вероятность поразить мишень равна p = 0,6, тогда вероятность промахнуться q = 1 - p = 0,4.

Вероятность поразить мишень с первого выстрела равна p = 0,6.

Вероятность поразить мишень со второго выстрела равна q × p = 0,4 × 0,6 = 0,24 (промахнулся первым и попал вторым).

Вероятность поразить мишень хотя бы с одного выстрела равна p + q × p = 0,6 + 0,24 = 0,84.

Вероятность не поразить мишень ни с одного выстрела равна q × q = 0,4 × 0,4 = 0,16.

Вероятность поразить ровно k мишеней из n, равна:

$$P(k, n) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$, где $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Необходимо найти вероятность, что стрелок поразит ровно две мишени:

$$P(2, 5) = C_5^2 \cdot (0,84)^2 \cdot (0,16)^3 = \frac{5!}{2!(5-2)!} \cdot (0,84)^2 \cdot (0,16)^3 = \frac{5!}{2!3!} \cdot (0,84)^2 \cdot (0,16)^3 = \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot (0,84)^2 \cdot (0,16)^3 = 10 \cdot 0,7056 \cdot 0,004096 = 0,02889728$$

Вероятность, что стрелок поразит ровно одну мишень:

$$P(1, 5) = C_5^1 \cdot (0,84)^1 \cdot (0,16)^4 = \frac{5!}{1!(5-1)!} \cdot (0,84)^1 \cdot (0,16)^4 = \frac{5!}{1!4!} \cdot (0,84)^1 \cdot (0,16)^4 = 5 \cdot 0,84 \cdot 0,00065536 = 0,002752512$$

Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»?

$$\frac{P(2, 5)}{P(1, 5)} = \frac{0,02889728}{0,002752512} = 10,4985$$

Ответ: примерно в 10,5 раз