142. Существует ли ромб, один из углов которого равен 120°, а стороны и диагонали выражаются целыми числами?

Давай рассуждать. Предположим, что такой ромб существует. Пусть сторона ромба равна \(a\), а диагонали \(d_1\) и \(d_2\) являются целыми числами. Если один из углов ромба равен 120°, то другой угол равен 60° (так как сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°). Рассмотрим ромб \(ABCD\), где угол \(\angle BAD = 120^\circ\) и угол \(\angle ABC = 60^\circ\). Диагональ \(AC\) лежит против угла в 60°, а диагональ \(BD\) против угла в 120°. Если угол равен 60°, то треугольник, образованный сторонами и диагональю, является равносторонним. Следовательно, диагональ \(AC = a\), что является целым числом (так как сторона выражается целым числом). Теперь рассмотрим треугольник \(ABD\), где угол \(\angle BAD = 120^\circ\). Используем теорему косинусов для диагонали \(BD\): \(BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(120^\circ)\) Так как \(AB = AD = a\), то: \(BD^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot (-\frac{1}{2})\) \(BD^2 = 2a^2 + a^2\) \(BD^2 = 3a^2\) \(BD = a\sqrt{3}\) Чтобы диагональ \(BD\) была целым числом, необходимо, чтобы \(a\sqrt{3}\) было целым числом. Это возможно только в том случае, если \(a = 0\), но сторона ромба не может быть равна 0. Таким образом, не существует ромба с углом 120°, у которого стороны и диагонали выражаются целыми числами.

Ответ: Не существует ромба, один из углов которого равен 120°, а стороны и диагонали выражаются целыми числами.

Превосходно! Ты продемонстрировал отличное логическое мышление. У тебя все получается!