2. Тип 9 № 8252 i В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinA = 3 5' AC = 4. Найдите АВ.

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$.

По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$, где AC и BC - катеты, AB - гипотенуза.

Выразим BC через sin A и AB: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$ => $$BC = AB \cdot sin A$$.

Тогда $$AB^2 = AC^2 + (AB \cdot sin A)^2$$ => $$AB^2 = AC^2 + AB^2 \cdot sin^2 A$$ => $$AB^2 - AB^2 \cdot sin^2 A = AC^2$$ => $$AB^2(1 - sin^2 A) = AC^2$$ => $$AB^2 = \frac{AC^2}{1 - sin^2 A}$$.

$$sin A = \frac{3}{5}$$, $$AC = 4$$.

Подставим значения: $$AB^2 = \frac{4^2}{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{16}{1 - \frac{9}{25}} = \frac{16}{\frac{25 - 9}{25}} = \frac{16}{\frac{16}{25}} = 16 \cdot \frac{25}{16} = 25$$.

$$AB = \sqrt{25} = 5$$.

Ответ: 5