5. Тип 9 № 8255 i В треугольнике АВС угол C равен 90°, AC = 4, sinA= 3√34 34. Найдите ВС.

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$.

По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$, где AC и BC - катеты, AB - гипотенуза.

Выразим AB через sin A и BC: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$ => $$AB = \frac{BC}{sin A}$$.

Тогда $$(\frac{BC}{sin A})^2 = AC^2 + BC^2$$ => $$\frac{BC^2}{sin^2 A} = AC^2 + BC^2$$ => $$BC^2 = AC^2 \cdot sin^2 A + BC^2 \cdot sin^2 A$$ => $$BC^2 - BC^2 \cdot sin^2 A = AC^2 \cdot sin^2 A$$ => $$BC^2(1 - sin^2 A) = AC^2 \cdot sin^2 A$$ => $$BC^2 = \frac{AC^2 \cdot sin^2 A}{1 - sin^2 A}$$.

$$sin A = \frac{3\sqrt{34}}{34}$$, $$AC = 4$$.

Подставим значения: $$BC^2 = \frac{4^2 \cdot (\frac{3\sqrt{34}}{34})^2}{1 - (\frac{3\sqrt{34}}{34})^2} = \frac{16 \cdot \frac{9 \cdot 34}{34^2}}{1 - \frac{9 \cdot 34}{34^2}} = \frac{16 \cdot \frac{9}{34}}{1 - \frac{9}{34}} = \frac{16 \cdot \frac{9}{34}}{\frac{34 - 9}{34}} = \frac{16 \cdot \frac{9}{34}}{\frac{25}{34}} = 16 \cdot \frac{9}{25} = \frac{144}{25} = 5.76$$.

$$BC = \sqrt{5.76} = 2.4$$.

Ответ: 2.4