4. Тип 9 № 8254 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, sinA = √5 5. Найдите ВС.

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$.

По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$, где AC и BC - катеты, AB - гипотенуза.

Выразим AB через sin A и BC: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$ => $$AB = \frac{BC}{sin A}$$.

Тогда $$(\frac{BC}{sin A})^2 = AC^2 + BC^2$$ => $$\frac{BC^2}{sin^2 A} = AC^2 + BC^2$$ => $$BC^2 = AC^2 \cdot sin^2 A + BC^2 \cdot sin^2 A$$ => $$BC^2 - BC^2 \cdot sin^2 A = AC^2 \cdot sin^2 A$$ => $$BC^2(1 - sin^2 A) = AC^2 \cdot sin^2 A$$ => $$BC^2 = \frac{AC^2 \cdot sin^2 A}{1 - sin^2 A}$$.

$$sin A = \frac{\sqrt{5}}{5}$$, $$AC = 4$$.

Подставим значения: $$BC^2 = \frac{4^2 \cdot (\frac{\sqrt{5}}{5})^2}{1 - (\frac{\sqrt{5}}{5})^2} = \frac{16 \cdot \frac{5}{25}}{1 - \frac{5}{25}} = \frac{16 \cdot \frac{5}{25}}{\frac{25 - 5}{25}} = \frac{16 \cdot \frac{5}{25}}{\frac{20}{25}} = 16 \cdot \frac{5}{20} = 16 \cdot \frac{1}{4} = 4$$.

$$BC = \sqrt{4} = 2$$.

Ответ: 2