3. Тип 9 № 8253 i В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 17, sinA = 2√5 5. Найдите ВС.

В прямоугольном треугольнике ABC синус угла A равен отношению противолежащего катета BC к гипотенузе AB: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$.

По теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$, где AC и BC - катеты, AB - гипотенуза.

Выразим AB через sin A и BC: $$sin A = \frac{BC}{AB}$$ => $$AB = \frac{BC}{sin A}$$.

Тогда $$(\frac{BC}{sin A})^2 = AC^2 + BC^2$$ => $$\frac{BC^2}{sin^2 A} = AC^2 + BC^2$$ => $$BC^2 = AC^2 \cdot sin^2 A + BC^2 \cdot sin^2 A$$ => $$BC^2 - BC^2 \cdot sin^2 A = AC^2 \cdot sin^2 A$$ => $$BC^2(1 - sin^2 A) = AC^2 \cdot sin^2 A$$ => $$BC^2 = \frac{AC^2 \cdot sin^2 A}{1 - sin^2 A}$$.

$$sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$, $$AC = 17$$.

Подставим значения: $$BC^2 = \frac{17^2 \cdot (\frac{2\sqrt{5}}{5})^2}{1 - (\frac{2\sqrt{5}}{5})^2} = \frac{289 \cdot \frac{4 \cdot 5}{25}}{1 - \frac{4 \cdot 5}{25}} = \frac{289 \cdot \frac{20}{25}}{\frac{25 - 20}{25}} = \frac{289 \cdot \frac{20}{25}}{\frac{5}{25}} = 289 \cdot \frac{20}{5} = 289 \cdot 4 = 1156$$.

$$BC = \sqrt{1156} = 34$$.

Ответ: 34