14. Тип 14 № 394399. Мать дарит каждой из пяти своих дочерей в день рождения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 2. Сколько лет было старшей дочери, когда у них составилась библиотека общей численностью в 495 книг?

**1. Внимательно прочитать условие задачи:** Задана арифметическая прогрессия возрастов пяти дочерей, где первый член (a_1 = 5) и разность (d = 2). Нужно найти возраст старшей дочери, когда сумма книг равна 495. **2. Найти возрасты дочерей в виде арифметической прогрессии:** Возрасты дочерей: (a_1 = 5), (a_2 = 5 + 2 = 7), (a_3 = 7 + 2 = 9), (a_4 = 9 + 2 = 11), (a_5 = 11 + 2 = 13). **3. Выразить сумму возрастов (количество книг) через сумму арифметической прогрессии:** Сумма арифметической прогрессии (S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n - 1)d)), где (n) - количество членов (дочерей), (a_1) - первый член (возраст младшей дочери), (d) - разность прогрессии. В данном случае, (n = 5), (a_1 = 5), (d = 2), поэтому сумма книг равна: (S_5 = \frac{5}{2}(2 cdot 5 + (5 - 1) cdot 2) = \frac{5}{2}(10 + 8) = \frac{5}{2} cdot 18 = 45) Это означает, что в начальный момент у них было 45 книг. **4. Определить, сколько лет прошло, чтобы сумма книг стала 495:** Пусть прошло (x) лет. Тогда возраст каждой дочери увеличится на (x). Новые возрасты: (5 + x), (7 + x), (9 + x), (11 + x), (13 + x). Новая сумма книг: ((5 + x) + (7 + x) + (9 + x) + (11 + x) + (13 + x) = 495) (45 + 5x = 495) (5x = 495 - 45) (5x = 450) (x = \frac{450}{5} = 90) **5. Найти возраст старшей дочери через 90 лет:** Возраст старшей дочери сейчас 13 лет. Через 90 лет ей будет: (13 + 90 = 103) **Ответ:** 103