18. Тип 18 № 4090: В параллелограмме АВСD биссектриса угла 4, равного 60°, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ = 6. Запишите решение и ответ.

Т.к. AM и DM перпендикулярны, то угол AMD = 90 градусов. Угол BAD = 60 градусов, а АМ - биссектриса этого угла. Следовательно, угол BAM = DAM = 30 градусов. В треугольнике AMD угол MAD = 30 градусов, угол AMD = 90 градусов, следовательно, угол ADM = 180 - 90 - 30 = 60 градусов. Т.к. AM - биссектриса угла A, то угол BAM = DAM = 30 градусов. Т.к. AD || BC, то угол BMA = углу DAM = 30 градусов (как накрест лежащие). Следовательно, угол ABM = 180 - 30 - 60 = 90 градусов. В треугольнике ABM угол ABM = 90, угол BMA = 30. Т.е. треугольник ABM прямоугольный с углом 30 градусов. AB = 6, следовательно, AM = 2AB = 12. Т.к. BM = AB * cos(30) = $$6 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$. Т.к. AD || BC, то угол AMD = 90, ADM = 60, MAD = 30. Тогда AM = 2MD. Т.к. треугольник ADM прямоугольный, то $$AD^2 = AM^2 - MD^2$$ = $$AM^2 - (AM/2)^2$$ = $$AM^2 - AM^2/4$$ = $$3AM^2/4$$. Т.е. $$AD = \sqrt{\frac{3AM^2}{4}} = \frac{AM\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$$. Т.к. AM - биссектриса угла BAD, а угол BAD = 60, то угол BAM = 30. Т.к. AD || BC, то угол AMB = 30. Т.е. угол AMB = углу MAB. Т.е. треугольник ABM равнобедренный и BM = AB = 6. Т.к. M - точка на стороне BC, то BC = BM + MC. Т.к. AD = BC, то AD = BM + MC. MC = AD - BM. MC = $$6\sqrt{3}$$ - 6. Периметр параллелограмма ABCD = 2(AB + BC) = 2(6 + $$6\sqrt{3}$$) = 12 + $$12\sqrt{3}$$ = 12(1 + $$\sqrt{3}$$). Ответ: $$12 + 12\sqrt{3}$$.