2. Тип 6 № 548285 Найдите корень уравнения \(log_5(8+3x) = log_5(7-3x)+1\).

Решим уравнение:

$$log_5(8+3x) = log_5(7-3x)+1$$

Представим 1 как логарифм по основанию 5:

$$log_5(8+3x) = log_5(7-3x) + log_5(5)$$

Используем свойство логарифма: \(log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)\)

$$log_5(8+3x) = log_5(5(7-3x))$$

Так как основания логарифмов одинаковы, приравняем аргументы:

$$8+3x = 5(7-3x)$$

$$8+3x = 35-15x$$

Перенесем все члены с x в левую часть, а числа - в правую:

$$3x + 15x = 35 - 8$$

$$18x = 27$$

$$x = \frac{27}{18} = \frac{3}{2} = 1.5$$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условиям \(8+3x > 0\) и \(7-3x > 0\):

Для \(x = 1.5\):

$$8+3(1.5) = 8+4.5 = 12.5 > 0$$

$$7-3(1.5) = 7-4.5 = 2.5 > 0$$

Значит, найденный корень является решением уравнения.

Ответ: 1.5