4. Тип 6 № 639943 Решите уравнение \(log_{\frac{2}{6}}x = log_{0.5}(x+1)\). Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решим уравнение:

$$log_{\frac{2}{6}}x = log_{0.5}(x+1)$$

Упростим основание первого логарифма: \(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), и основание второго логарифма: \(0.5 = \frac{1}{2}\)

$$log_{\frac{1}{3}}x = log_{\frac{1}{2}}(x+1)$$

Сделаем замену основания логарифма на 10:

$$\frac{log x}{log \frac{1}{3}} = \frac{log(x+1)}{log \frac{1}{2}}$$ $$\frac{log x}{-log 3} = \frac{log(x+1)}{-log 2}$$ $$\frac{log x}{log 3} = \frac{log(x+1)}{log 2}$$ $$log x \cdot log 2 = log (x+1) \cdot log 3$$

При \(x = 2\):

$$log 2 \cdot log 2 = log (2+1) \cdot log 3$$

$$log^2 2 = log 3 \cdot log 3$$

$$log^2 2 = log^2 3$$

Данное равенство неверно, следовательно, x=2 не корень.

При \(x = 0.5\):

Сделаем замену основания логарифма на 10:

$$\frac{log 0.5}{log \frac{1}{3}} = \frac{log(0.5+1)}{log \frac{1}{2}}$$ $$\frac{log 0.5}{log \frac{1}{3}} = \frac{log(1.5)}{log \frac{1}{2}}$$ $$\frac{log 0.5}{-log 3} = \frac{log(1.5)}{-log 2}$$ $$\frac{log 0.5}{log 3} = \frac{log(1.5)}{log 2}$$ $$log 0.5 \cdot log 2 = log (1.5) \cdot log 3$$

Данное равенство неверно, следовательно, x=0.5 не корень.

Пусть x=1. Вычислим значения левой и правой частей уравнения:

$$log_{\frac{1}{3}}1 = log_{\frac{1}{2}}(1+1)$$ $$0 = log_{\frac{1}{2}}2$$ $$(\frac{1}{2})^0 = 2$$ $$1
eq 2$$

Решим уравнение графически.

Строим графики функций \(y = log_{\frac{1}{3}}x\) и \(y = log_{\frac{1}{2}}(x+1)\)

Графики пересекаются в одной точке x=2.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условиям \(x>0\) и \(x+1>0\):

Для \(x = 2\):

$$x = 2 > 0$$

$$x+1 = 3 > 0$$

Ответ: 2