10. Тип 18 № 8744 В прямоугольной трапеции АВСD с основаниями AD и ВС диагональ BD равна 15 равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 51

Шаг 1: Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где углы A и B прямые, AD и BC основания, BD = 15, угол ADB = 45°, BC = 5.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник ABD. Так как угол A прямой и угол ADB равен 45°, то угол ABD также равен 45°, следовательно, треугольник ABD равнобедренный, и AD = AB.

Шаг 3: В треугольнике ABD по теореме Пифагора: \[ AD^2 + AB^2 = BD^2 \] Так как AD = AB, то: \[ 2AB^2 = BD^2 \] \[ AB^2 = \frac{BD^2}{2} \] \[ AB = \frac{BD}{\sqrt{2}} = \frac{15}{\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{2} \]

Шаг 4: Проведем высоту CE из вершины C к основанию AD. Тогда AECD прямоугольник, и AE = BC = 5. ED = AD - AE = AD - BC

Шаг 5: Рассмотрим треугольник CED. Он прямоугольный. CE = AB = \frac{15\sqrt{2}}{2}. Найдем ED: \( ED = AD - AE = AD - BC = \frac{15\sqrt{2}}{2} - 5 \)

Шаг 6: Найдем CD по теореме Пифагора из треугольника CED: \( CD^2 = CE^2 + ED^2 \) \( CD^2 = (\frac{15\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{15\sqrt{2}}{2} - 5)^2 \) \( CD^2 = \frac{225 \cdot 2}{4} + (\frac{225 \cdot 2}{4} - 2 \cdot 5 \cdot \frac{15\sqrt{2}}{2} + 25) \) \( CD^2 = \frac{450}{4} + \frac{450}{4} - \frac{150\sqrt{2}}{2} + 25 \) \( CD^2 = 225 - 75\sqrt{2} + 25 \) \( CD^2 = 250 - 75\sqrt{2} \) \( CD = \sqrt{250 - 75\sqrt{2}} = \sqrt{25(10 - 3\sqrt{2})} = 5\sqrt{10 - 3\sqrt{2}} \approx 11.82 \)