1. Тип 9 № 8322 В треугольнике АВС угол C равен 90°, tgA = 2√10 3 , АВ = 28. Найдите АС.

Шаг 1: В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то есть: \[ tgA = \frac{BC}{AC} \]

Шаг 2: Выразим катет BC через тангенс угла A и катет AC: \[ BC = AC \cdot tgA \]

Шаг 3: По теореме Пифагора: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим выражение для BC: \[ AB^2 = AC^2 + (AC \cdot tgA)^2 \]

Шаг 4: Вынесем AC² за скобки: \[ AB^2 = AC^2(1 + tg^2A) \] Выразим AC: \[ AC = \frac{AB}{\sqrt{1 + tg^2A}} \]

Шаг 5: Подставим известные значения: tgA = 2√10/3, AB = 28 \[ AC = \frac{28}{\sqrt{1 + (\frac{2\sqrt{10}}{3})^2}} = \frac{28}{\sqrt{1 + \frac{40}{9}}} = \frac{28}{\sqrt{\frac{49}{9}}} = \frac{28}{\frac{7}{3}} = 28 \cdot \frac{3}{7} = 4 \cdot 3 = 12 \]