1. Тип 9 № 8322 В треугольнике АВС угол C равен 90°, tgA = 2√10 3 , АВ= 28. Найдите АС.

Тангенс угла A (\(tg A\)) в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC):

\[tg A = \frac{BC}{AC}\]

Также мы знаем гипотенузу AB. Выразим катет BC через гипотенузу и угол A:

\[BC = AB \cdot sin A\]

Выразим синус через тангенс, используя основное тригонометрическое тождество:

\[sin^2 A + cos^2 A = 1\] \[\frac{sin^2 A}{cos^2 A} + 1 = \frac{1}{cos^2 A}\] \[tg^2 A + 1 = \frac{1}{cos^2 A}\] \[cos^2 A = \frac{1}{tg^2 A + 1}\] \[cos A = \frac{1}{\sqrt{tg^2 A + 1}}\] \[sin A = tg A \cdot cos A = \frac{tg A}{\sqrt{tg^2 A + 1}}\]

Подставим известное значение \(tg A = \frac{2\sqrt{10}}{3}\):

\[sin A = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{3}}{\sqrt{(\frac{2\sqrt{10}}{3})^2 + 1}} = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{3}}{\sqrt{\frac{40}{9} + 1}} = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{3}}{\sqrt{\frac{49}{9}}} = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{3}}{\frac{7}{3}} = \frac{2\sqrt{10}}{7}\]

Теперь найдем BC:

\[BC = 28 \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7} = 4 \cdot 2\sqrt{10} = 8\sqrt{10}\]

Используем теорему Пифагора для нахождения AC:

\[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[AC^2 = AB^2 - BC^2\] \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{28^2 - (8\sqrt{10})^2} = \sqrt{784 - 640} = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: 12