Тип 13 № 4013. В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и AX = BX = BY. Найдите длину отрезка AY, если AX = 20 и угол ACB равен 75°.

Так как \(AB=AC\) и \(\angle ACB=75^\circ\), то \(\angle BAC=30^\circ\). В треугольнике ABX равны AX и BX, поэтому \(\angle ABX=30^\circ\), а \(\angle AXB=120^\circ\).

Поскольку точки A, X, Y лежат на одной прямой, \(\angle BXY=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Из \(BX=BY\) следует, что \(\angle BYX=60^\circ\), значит, треугольник BXY равносторонний и \(XY=BX=AX=20\).

Тогда \(AY=AX+XY=20+20=40\).

Ответ: 40.