Тип 13 № 4032. В треугольнике ABC стороны AB и AC равны. На стороне AC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками A и Y и AX = BX = BY. Найдите длину отрезка AY, если AX = 24 и угол ACB равен 75°.

Так как \(AB=AC\) и \(\angle ACB=75^\circ\), то \(\angle BAC=30^\circ\). В треугольнике ABX равны AX и BX, поэтому \(\angle ABX=30^\circ\), а \(\angle AXB=120^\circ\).

Точки A, X, Y лежат на одной прямой, поэтому \(\angle BXY=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Из \(BX=BY\) получаем \(\angle BYX=60^\circ\), следовательно, треугольник BXY равносторонний и \(XY=BX=AX=24\).

Тогда \(AY=AX+XY=24+24=48\).

Ответ: 48.