Тип 13 № 4013. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, ∠ACB = 75°. На стороне BC взяли точки X и Y так, что точка X лежит между точками B и Y, AX = BX и ∠BAX = ∠YAX. Найдите длину отрезка AY, если AX = 20.

1. Так как \(AB=BC\), углы при основании AC равны: \(\angle BAC=\angle ACB=75^\circ\). Поэтому \(\angle ABC=30^\circ\).

2. Поскольку X лежит на BC, \(\angle ABX=30^\circ\). Из \(AX=BX\) следует, что \(\angle BAX=30^\circ\), а \(\angle AXB=120^\circ\).

3. Условие \(\angle BAX=\angle YAX\) даёт \(\angle XAY=30^\circ\). Так как XA и XY — противоположные лучи, \(\angle AXY=180^\circ-120^\circ=60^\circ\). Следовательно, \(\angle AYX=90^\circ\).

4. В прямоугольном треугольнике AXY сторона AY лежит напротив угла \(60^\circ\), а AX — напротив угла \(90^\circ\). Значит, \(AY=AX\cdot\sin60^\circ/\sin90^\circ=20\cdot\sqrt{3}/2=10\sqrt{3}\).

Ответ: \(10\sqrt{3}\).