15. Тип Д9 № 323344 / Площадь прямоугольного треугольника равна \(32\sqrt{3}\). Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы.

1. Шаг 1: Обозначим катет, лежащий против угла 30°, как \( a \). Тогда другой катет будет равен \( a\sqrt{3} \). Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как: \[ S = \frac{1}{2} a \cdot a\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \]
2. Шаг 2: Приравняем это выражение к данной площади \( 32\sqrt{3} \): \[ \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3} \] Умножим обе части на 2 и разделим на \(\sqrt{3}\): \[ a^2 = 64 \] \[ a = 8 \]
3. Шаг 3: Зная, что катет, лежащий против угла 30°, равен 8, гипотенуза (\( c \)) будет в два раза больше: \[ c = 2a = 2 \cdot 8 = 16 \]

Ответ: 16