24 Точка К – середина боковой стороны CD трапеции АВСD. Докажите, что площадь треугольника КАВ равна половине площади трапеции.

Пусть ABCD - трапеция с основаниями AD и BC.

Точка K - середина боковой стороны CD.

Докажем, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции ABCD.

Пусть h - высота трапеции.

Площадь трапеции:

S_ABCD = (AD + BC) ⋅ h / 2

Проведем высоту из точки K к основанию AB.

Высота треугольника KAB будет равна половине высоты трапеции: h/2.

Площадь треугольника KAB:

S_KAB = AB ⋅ (h/2) / 2 = AB ⋅ h / 4

Поскольку K - середина CD, то можно сказать, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции ABCD, если AB равно средней линии трапеции.

Средняя линия трапеции равна (AD + BC) / 2

Тогда площадь треугольника:

S_KAB = (AD + BC) / 2 ⋅ h / 2 = (AD + BC) ⋅ h / 4

Сравним с площадью трапеции:

S_KAB = 1/2 ⋅ S_ABCD = 1/2 ⋅ (AD + BC) ⋅ h / 2 = (AD + BC) ⋅ h / 4

Следовательно, площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции ABCD.