Точки А и В касательных с центром в точке О пересекаются под углом 72°. Найдите угол АВО. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть \( OA \) и \( OB \) — радиусы, проведённые к точкам касания \( A \) и \( B \) соответственно. Тогда \( OA ⊥ \) касательной в точке \( A \) и \( OB ⊥ \) касательной в точке \( B \). Значит, \( ∠ OAB = 90^\circ \) и \( ∠ OBA = 90^\circ \).

Условие «точки А и В касательных с центром в точке О пересекаются под углом 72°» некорректно. Вероятно, имеется в виду угол между касательными, проведёнными из одной точки \( P \) к окружности в точках \( A \) и \( B \). Или угол \( ∠ AOB = 72^\circ \).

Случай 1: Угол между касательными равен 72°.

Пусть \( P \) — точка пересечения касательных. Тогда \( ∠ APB = 72^\circ \). В четырёхугольнике \( PAOB \) сумма углов равна 360°.

\( ∠ OAP = ∠ OBP = 90^\circ \) (радиус перпендикулярен касательной).

\( ∠ AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 72^\circ = 108^\circ \).

В равнобедренном треугольнике \( AOB \) (так как \( OA = OB = R \)), углы при основании равны:

\( ∠ OAB = ∠ OBA = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ \).

Случай 2: Угол АОВ равен 72°.

В равнобедренном треугольнике \( AOB \) \( OA = OB = R \).

\( ∠ OAB = ∠ OBA = \(\frac{180^\circ - ∠ AOB}{2}\) = \(\frac{180^\circ - 72^\circ}{2}\) = \(\frac{108^\circ}{2}\) = 54^\(\circ\) \>.

По контексту изображения, где показаны касательные, пересекающиеся в точке вне окружности, более вероятен первый случай.

Ответ: 36.