26. Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos ∠BAC = √11 / 6.

Пусть O - центр окружности, проходящей через M и N и касающейся AB в точке K. Пусть R - радиус этой окружности. Тогда AK - касательная к окружности, а AMN - секущая. По теореме о касательной и секущей: AK² = AM * AN. AM = 9, AN = 11, значит, AK² = 9 * 11 = 99. AK = √99 = 3√11. Рассмотрим треугольник AKO, где AO = R и OK = R. ∠KAO = ∠BAC. По теореме косинусов для треугольника AKO: OK² = AK² + AO² - 2 * AK * AO * cos(∠BAC) R² = (3√11)² + R² - 2 * 3√11 * R * (√11 / 6) R² = 99 + R² - 11R 11R = 99 R = 9 Ответ: 9