Трапеция А B C D с основаниями A D и B C вписана около окружности. Найдите A D.

Решение:

Данная трапеция является равнобедренной, так как в нее вписана окружность. В равнобедренной трапеции основания относятся как \( a : b = 1:2 \) или \( a : b = 2:1 \). Сумма противоположных сторон равна: \( AD+BC=AB+CD \). Так как трапеция равнобедренная, \( AB=CD \). Периметр \( P = AD+BC+2AB \).

Так как в трапецию вписана окружность, сумма противоположных сторон равна: \( AD + BC = AB + CD \). Поскольку трапеция равнобедренная, \( AB = CD \), значит \( AD + BC = 2AB \).

Радиус окружности \( r=6 \), значит высота трапеции \( h = 2r = 12 \).

Угол \( B = 135^{\circ} \), значит угол \( A = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной и отрезком основания, угол при основании равен \( 45^{\circ} \). Значит, это прямоугольный равнобедренный треугольник. Высота \( h = 12 \), тогда отрезок основания \( x = h = 12 \).

\( BC = AB \cos(45^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \).

\( AB = \frac{h}{\sin(45^{\circ})} = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12\sqrt{2} \).

\( AD = BC + 2x = 6\sqrt{2} + 2 \cdot 12 = 6\sqrt{2} + 24 \).

Примечание: В условии задачи указано, что окружность вписана в трапецию, а затем даны длины сторон: \( AB=10, BC=6, CD=12 \). Это противоречие. Если мы исходим из длин сторон, то \( AD+BC = 10+12 = 22 \) и \( AB+CD = 10+12 = 22 \). Это условие выполнено. Однако, если \( AB=10 \) и \( h=12 \), то \( AB < h \), что невозможно.

Будем решать задачу, исходя из условия, что радиус вписанной окружности равен 12 (что значит высота равна 24), и углы равнобедренной трапеции равны \( 135^{\circ} \) и \( 45^{\circ} \), как указано на чертеже.

Если \( r=12 \), то \( h=24 \). \( x = h = 24 \).

\( AB = \frac{h}{\sin(45^{\circ})} = \frac{24}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 24\sqrt{2} \).

\( BC = AB \cos(45^{\circ}) = 24\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24 \).

\( AD = BC + 2x = 24 + 2 \cdot 24 = 24 + 48 = 72 \).

Ответ: 72