4.Треугольник FRT задан координатами своих вершин: F(2;-2), R(2;3), T(-2;1). а) Докажите, что треугольник FRT – равнобедренный. б) Найдите высоту, проведенную из вершины F.

Давай решим эту задачу по геометрии. Нам дан треугольник \(FRT\) с вершинами \(F(2;-2)\), \(R(2;3)\), \(T(-2;1)\). Нужно доказать, что треугольник равнобедренный, и найти высоту, проведенную из вершины \(F\). а) Чтобы доказать, что треугольник \(FRT\) равнобедренный, нужно найти длины его сторон и показать, что две из них равны. Длину стороны найдем по формуле расстояния между двумя точками: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\). 1. Найдем длину стороны \(FR\): \[FR = \sqrt{(2 - 2)^2 + (3 - (-2))^2} = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{25} = 5\] 2. Найдем длину стороны \(RT\): \[RT = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}\] 3. Найдем длину стороны \(FT\): \[FT = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\] Так как \(FR = FT = 5\), треугольник \(FRT\) - равнобедренный. б) Теперь найдем высоту, проведенную из вершины \(F\) к стороне \(RT\). Обозначим эту высоту как \(FH\). Для этого сначала найдем уравнение прямой \(RT\), затем расстояние от точки \(F\) до этой прямой. Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\), можно найти по формуле: \[\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\] Подставим координаты точек \(R(2;3)\) и \(T(-2;1)\): \[\frac{y - 3}{1 - 3} = \frac{x - 2}{-2 - 2}\] \[\frac{y - 3}{-2} = \frac{x - 2}{-4}\] Упростим уравнение: \[-4(y - 3) = -2(x - 2)\] \[-4y + 12 = -2x + 4\] \[2x - 4y + 8 = 0\] Разделим на 2: \[x - 2y + 4 = 0\] Теперь найдем расстояние от точки \(F(2;-2)\) до прямой \(x - 2y + 4 = 0\). Формула расстояния от точки \((x_0; y_0)\) до прямой \(Ax + By + C = 0\): \[d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\] Подставим значения \(A = 1\), \(B = -2\), \(C = 4\), \(x_0 = 2\), \(y_0 = -2\): \[FH = \frac{|1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-2) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 + 4 + 4|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}\]

Ответ:

а) Треугольник \(FRT\) - равнобедренный, так как \(FR = FT = 5\).

б) Высота, проведенная из вершины \(F\), равна \(2\sqrt{5}\).

Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!