Три окружности, радиусы которых равны 2, 3 и 10, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

Дано:

• Три окружности с радиусами r₁ = 2, r₂ = 3, r₃ = 10.
• Окружности попарно касаются внешним образом.
• Вершины треугольника ABC — центры этих окружностей.

Найти: Радиус окружности, вписанной в
\[ \triangle ABC \]

Решение:

1. Находим стороны треугольника ABC:

Стороны треугольника, образованного центрами касающихся окружностей, равны сумме их радиусов.

Пусть центры окружностей A, B, C соответствуют радиусам r₁=2, r₂=3, r₃=10.

Сторона AB = r₁ + r₂ = 2 + 3 = 5.

Сторона BC = r₂ + r₃ = 3 + 10 = 13.

Сторона AC = r₁ + r₃ = 2 + 10 = 12.

Итак, стороны треугольника ABC равны 5, 12, 13.

2. Проверяем тип треугольника:

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора:

\[ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \]

\[ 13^2 = 169 \]

Так как
\[ 5^2 + 12^2 = 13^2 \], то треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом напротив гипотенузы (стороны длиной 13).

3. Находим радиус вписанной окружности:

Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности (r) можно найти по формуле:

\[ r = \frac{a+b-c}{2} \]

где a и b — катеты, а c — гипотенуза.

В нашем случае a = 5, b = 12, c = 13.

\[ r = \frac{5 + 12 - 13}{2} \]

\[ r = \frac{17 - 13}{2} \]

\[ r = \frac{4}{2} \]

\[ r = 2 \]

Альтернативный способ (через площадь и полупериметр):

Площадь прямоугольного треугольника S =
\[ \frac{1}{2}  a  b \] =
\[ \frac{1}{2}  5  12 = 30 \]

Полупериметр p =
\[ \frac{a+b+c}{2} \] =
\[ \frac{5+12+13}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

Радиус вписанной окружности r =
\[ \frac{S}{p} \] =
\[ \frac{30}{15} = 2 \]

Ответ: 2