В угол С величиной 57° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О — центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Окружность касается сторон угла С в точках А и В.
• \[ \angle C = 57^{\circ} \]
• O — центр окружности.

Найти: \[ \angle AOB \]

Решение:

Рассмотрим четырехугольник АСВО.

Так как окружность вписана в угол и касается его сторон в точках А и В, то радиусы ОА и ОВ перпендикулярны сторонам угла в точках касания.

Следовательно, \[ \angle OAC = 90^{\circ} \] и \[ \angle OBC = 90^{\circ} \].

Сумма углов четырехугольника равна 360°.

В четырехугольнике АСВО:

\[ \angle AOB + \angle OAC + \angle C + \angle OBC = 360^{\circ} \]

\[ \angle AOB + 90^{\circ} + 57^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \]

\[ \angle AOB + 237^{\circ} = 360^{\circ} \]

\[ \angle AOB = 360^{\circ} - 237^{\circ} \]

\[ \angle AOB = 123^{\circ} \]

Ответ: 123