5. Углы треугольника DHE относятся так: ∠D : ∠H : ∠E = 1 : 2 : 3. НА - биссектриса угла D. Длина отрезка АЕ равна 29. Найдите НА.

Пусть ∠D = x, тогда ∠H = 2x, ∠E = 3x. Сумма углов треугольника равна 180°: x + 2x + 3x = 180° 6x = 180° x = 30° Следовательно, ∠D = 30°, ∠H = 60°, ∠E = 90°. Так как HA - биссектриса угла D, то ∠HAD = ∠EAH = 30°/2 = 15° Рассмотрим прямоугольный треугольник AHE. Угол ∠AEH = 90°, ∠EAH = 15°, следовательно, ∠AHE = 180 - 90 - 15 = 75°. Так как АЕ = 29, то $$\frac{HA}{sin(90)} = \frac{29}{sin(75)}$$ $$HA = \frac{29}{sin(75)} = \frac{29}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{116}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{116 * (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6-2} = 29(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$ Ответ: $$29(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$