Упростите числовое выражение √27+10√2 + √27-10√2.

Упростим числовое выражение $$\sqrt{27+10\sqrt{2}} + \sqrt{27-10\sqrt{2}}.$$

Предположим, что $$\sqrt{27+10\sqrt{2}} = a + b\sqrt{2}$$ и $$\sqrt{27-10\sqrt{2}} = a - b\sqrt{2}$$.

Тогда $$27+10\sqrt{2} = (a + b\sqrt{2})^2 = a^2 + 2ab\sqrt{2} + 2b^2$$ и $$27-10\sqrt{2} = (a - b\sqrt{2})^2 = a^2 - 2ab\sqrt{2} + 2b^2$$.

Отсюда получаем систему уравнений:

$$a^2 + 2b^2 = 27$$ и $$2ab = 10$$, то есть $$ab = 5$$, откуда $$b = \frac{5}{a}$$.

Подставим b в первое уравнение: $$a^2 + 2(\frac{5}{a})^2 = 27$$.

$$a^2 + \frac{50}{a^2} = 27$$.

$$a^4 - 27a^2 + 50 = 0$$.

Пусть $$t = a^2$$, тогда $$t^2 - 27t + 50 = 0$$.

D = 27^2 - 4 * 1 * 50 = 729 - 200 = 529.

t_1 = (27 + \sqrt{529}) / 2 = (27 + 23) / 2 = 50 / 2 = 25.

t_2 = (27 - \sqrt{529}) / 2 = (27 - 23) / 2 = 4 / 2 = 2.

a^2 = 25 или a^2 = 2.

Если a^2 = 25, то a = 5, и b = 5 / 5 = 1.

Если a^2 = 2, то a = \sqrt{2}, и b = 5 / \sqrt{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}.

Берем a = 5 и b = 1.

Тогда $$\sqrt{27+10\sqrt{2}} = 5 + \sqrt{2}$$ и $$\sqrt{27-10\sqrt{2}} = 5 - \sqrt{2}$$.

Сумма этих выражений: $$(5 + \sqrt{2}) + (5 - \sqrt{2}) = 10$$.

Ответ: 10